テンソルの固有値と固有ベクトル
テンソル\(\vec{X}\)に対して
\[\vec{X}\cdot\vec{\phi} =\lambda\vec{\phi}\]
あるいは、
\[(\vec{X}-\lambda\vec{I})\cdot\vec{\phi} = \vec{0}\]
を満たすスカラー\(\lambda\)とベクトル\(\vec{\phi}\)をテンソル\(\vec{X}\)の固有値と固有ベクトルと呼びます。ここで、\(\vec{\phi} \neq \vec{0}\)とします。
この関係を成分表示すると次式が得られます。
\[(X_{ij}-\lambda\delta_{ij})\phi_j=0 \tag{a}\]
\(\vec{X}\cdot\vec{\phi}\)と \(\vec{I}\cdot\vec{\phi}\) の成分表示をそれぞれ考えます。
\[\begin{align}\vec{X}\cdot\vec{\phi} &= X_{ij}(\vec{e_i}\otimes\vec{e_j})\cdot\vec{phi} \\ &= X_{ij}(\vec{e_j}\cdot\vec{\phi})\vec{e_i} \\ &= X_{ij} \phi_j \vec{e_i} \end{align}\]
\[\begin{align}\vec{I}\cdot\vec{\phi} &= \vec{phi}\\&=I_{ij}\phi_j\vec{e_i} \\&=\delta_{ij} \phi_j\vec{e_i}\end{align} \]
式(a)が\(j=1,2,3\)において、\(\phi_j = 0\)以外の解を持つには
\[\mathrm{det}(\vec{X} – \lambda\vec{I}) = 0\]
上式が必要十分条件となることが知られています。この辺りは線形代数でもよくやる内容ですね。
対称テンソルの固有ベクトルは直交する
ここで、\(\vec{X}\)が対象テンソルのとき、固有値はすべて実数になり，固有値二つを\(\lambda_i,\lambda_j\)としたとき、\(\lambda_i\neq\lambda_j\)のとき、対応する固有ベクトル\(\vec{\phi_i},\vec{\phi_j}\)は直交します。
\(\vec{X}\)が対称テンソルなら次式が成立します。
\[\vec{X} = \vec{X}^T\]
このため、
\[\vec{X}\cdot\vec{\phi_i} = \vec{\phi_i}\cdot\vec{X}\]
\[\vec{\phi_j}\cdot\vec{X}\cdot\vec{\phi_i} = \vec{\phi_i}\cdot\vec{X}\cdot \vec{\phi_j}\]
となる。ここで\(\vec{X}\cdot\vec{\phi_i} = \lambda_i\vec{\phi_i}\)と \(\vec{X}\cdot\vec{\phi_j} = \lambda_j\vec{\phi_j}\) を利用すれば、上式は
\[\begin{align}\vec{\phi_j}\cdot(\lambda_i\vec{\phi_i}) &= \vec{\phi_i}\cdot(\lambda_j\vec{\phi_j})\\(\lambda_i-\lambda_j)\vec{\phi_i}\cdot\vec{\phi_j} &= 0\end{align}\]
となります。ここで\((\lambda_i-\lambda_j)\neq0\)なので、 \(\vec{\phi_i}\cdot\vec{\phi_j} =0\)となる。つまり\(\vec{\phi_i}\)と\(\vec{\phi_j}\)の内積が0となるということは、直交していることを表している。
