テンソル\(\vec{X}\)のディターミナント\(\mathrm{det}\vec{X}\)は、テンソルの固有値などの計算によく出てくる重要な概念です。
テンソルのディターミナントの定義
テンソル\(\vec{X}\)のディターミナント\(\mathrm{det}\vec{X}\)は次式により定義されます。なお、\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)は任意のベクトルを表します。
\[\mathrm{det}\vec{X}\equiv[\vec{X}\cdot\vec{a}\; \vec{X}\cdot\vec{b}\; \vec{X}\cdot\vec{c}]/[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]\]
次のようにも書けます。
\[\mathrm{det}\vec{X}\equiv[\vec{X}\cdot\vec{e_1}\; \vec{X}\cdot\vec{e_2}\; \vec{X}\cdot\vec{e_3}]\]
上式をディアディック表示すると
\[\begin{align}\mathrm{det}\vec{X} &= [X_{i1}\vec{e_i}\; X_{j2}\vec{e_j}\; X_{k3}\vec{e_k}]\\ &= X_{i1}X_{j2}X_{k3}[\vec{e_i}\; \vec{e_j}\; \vec{e_k}]\\&=X_{i1}X_{j2}X_{k3}e_{ijk}[\vec{e_1}\; \vec{e_2}\; \vec{e_3}]\\&=X_{i1}X_{j2}X_{k3}e_{ijk}\\ &=\frac{1}{6}e_{rst}e_{ijk}X_{ri}X_{sj}X_{tk} \end{align}\]
X_{i1}X_{j2}X_{k3}e_{ijk} = \frac{1}{6}e_{rst}e_{ijk}X_{ri}X_{sj}X_{tk}
ここで、右辺\(r\neq s\neq t\)の場合でない場合は0なので省略でき、右辺を書き下すと
\[\begin{align}e_{rst}e_{ijk}X_{ri}X_{sj}X_{tk} &= e_{123}e_{ijk}X_{1i}X_{2j}X_{3k} + e_{132}e_{ijk}X_{1i}X_{3j}X_{2k}\\ &+e_{231}e_{ijk}X_{2i}X_{3j}X_{1k} + e_{213}e_{ijk}X_{2i}X_{1j}X_{3k}\\ &+e_{312}e_{ijk}X_{3i}X_{1j}X_{2k} + e_{321}e_{ijk}X_{3i}X_{2j}X_{1k}\end{align}\]
となる。ここでエディントンのイプシロンを\(e_{123}\)にそろえると
\[\begin{align}e_{rst}e_{ijk}X_{ri}X_{sj}X_{tk} &= e_{123}e_{ijk}X_{1i}X_{2j}X_{3k} – e_{123}e_{ijk}X_{1i}X_{2j}X_{3k}\\ &+e_{123}e_{ijk}X_{2i}X_{3j}X_{1k} – e_{123}e_{ijk}X_{2i}X_{1j}X_{3k}\\ &+e_{123}e_{ijk}X_{3i}X_{1j}X_{2k} – e_{123}e_{ijk}X_{3i}X_{2j}X_{1k}\end{align}\]
ここで添字をすべて\(X_{i1}X_{j2}X_{k3}\)にそろえるように、整理すると
\[e_{rst}e_{ijk}X_{ri}X_{sj}X_{tk} = 6e_{ijk}X_{1i}X_{2j}X_{3k}\]となる。
転置テンソルのディタミナント
転置テンソルは次のように成分表示できます。
\[\begin{align}\vec{X}^T\cdot \vec{e_i} &= X_{kl}(\vec{e_l}\otimes\vec{e_k})\cdot\vec{e_i}\\ &= X_{kl}\delta_{ki}\vec{e_l} \\X_{il}\vec{e_l} \end{align}\]
となる。転置テンソル\(\vec{X}^T\)にディタミナントをとると
\[\begin{align}\mathrm{det}\vec{X}^T &= [\vec{X}^T\cdot\vec{e_1}\; \vec{X}^T\cdot\vec{e_2}\; \vec{X}^T\cdot\vec{e_3}]\\ &=[X_{1i}\vec{e_i}\; X_{2j}\vec{e_j}\; X_{3k}\vec{e_k}]\\X_{1i}X_{2j}X_{3k}e_{ijk} \end{align}\]
となります。ここで、テンソル\(\vec{X}\)のディタミナントの\(X_{i1}X_{j2}X_{k3}e_{ijk}\)と、上式の\(X_{1i}X_{2j}X_{3k}e_{ijk}\)の関係を考える。
\[\begin{align}X_{i1}X_{j2}X_{k3}e_{ijk}&= X_{11}X_{22}X_{33}-X_{11}X_{32}X_{23} \\&+ X_{21}X_{32}X_{13}-X_{21}X_{12}X_{33}\\ &+ X_{31}X_{12}X_{23}-X_{31}X_{22}X_{13}\\&=X_{1i}X_{2j}X_{3k}e_{ijk}\end{align}\]
となり、書き下すと、\(X_{i1}X_{j2}X_{k3}e_{ijk} = X_{1i}X_{2j}X_{3k}e_{ijk} \)となるので
\[\mathrm{det}\vec{X} = \mathrm{det}\vec{X}^T\]
テンソルの積のディタミナント
テンソルのディタミナントには次のような関係もあります。
\[\mathrm{det}(\vec{X}\cdot\vec{Y})=(\mathrm{det}\vec{X})(\mathrm{det}\vec{Y})\]
\[\mathrm{det}(\vec{X}\cdot\vec{Y}\cdot\vec{Z})=(\mathrm{det}\vec{X})(\mathrm{det}\vec{Y})(\mathrm{det}\vec{Z})\]
これはテンソルの定義式を利用すると
\[\begin{align}\mathrm{det}(\vec{X}\cdot\vec{Y}) &=[\vec{X}\cdot\vec{Y}\cdot\vec{a}\;\vec{X}\cdot\vec{Y}\cdot\vec{b}\;\vec{X}\cdot\vec{Y}\cdot\vec{c}]/[\vec{a}\;\vec{b}\;\vec{c}]\\&=(\mathrm{det}\vec{X})[\vec{Y}\cdot\vec{a}\;\vec{Y}\cdot\vec{b}\;\vec{Y}\cdot\vec{c}]/[\vec{a}\;\vec{b}\;\vec{c}]\\ &=(\mathrm{det}\vec{X})(\mathrm{det}\vec{Y})[\vec{a}\;\vec{b}\;\vec{c}]/[\vec{a}\;\vec{b}\;\vec{c}] \\ &= (\mathrm{det}\vec{X})(\mathrm{det}\vec{Y}) \end{align}\]\
となることから理解できますね。
