テンソルの性質 その1

連続体力学

ここでは後々の式展開のために、テンソルの性質について説明します。

テンソルの演算ルールその1

テンソルの定義式より任意のベクトル\(\vec{a}\)と任意のテンソル\(\vec{X}\)に対して

\[\begin{align}\vec{X}\cdot\vec{a} &= (X_{ij} \vec{e_i}\otimes\vec{e_j})\cdot \vec{a} \\ &= X_{ij} (\vec{e_j} \cdot \vec{a})\vec{e_i} \\ &= X_{ij} a_j \vec{e_i}\end{align}\]

となります。ここではこの関係に加えて、ベクトル\(\vec{b}\)を前からかけた時に

\[\begin{align}\vec{b}\cdot\vec{X} &= \vec{b}\cdot(X_{ij} \vec{e_i}\otimes\vec{e_j}) \\ &\equiv X_{ij} (\vec{b} \cdot \vec{e_i})\vec{e_j} \\ &= X_{ij} b_i \vec{e_j}\end{align}\]

と定義します。

零テンソル、単位テンソル

任意のベクトル\(\vec{a}\)に作用させたときに、零ベクトル\(\vec{0}\)が得られるテンソル\(\vec{O}\)を零テンソルとよびます。

\[\vec{O}\cdot\vec{a} = \vec{0}\]

また、次のようなテンソル\(\vec{I}\)を単位テンソル(あるいは恒等テンソル)とよびます。

\[\vec{I}\cdot\vec{a} = \vec{a}\]

転置テンソル

テンソル\(\vec{X}\)に対し次のような性質を満たすテンソル\(\vec{X}^T\)を転置テンソルとよぶ。

\[\vec{b}\cdot(\vec{X}\cdot\vec{a}) = \vec{a}\cdot(\vec{X}^T\cdot\vec{b})\]

ここで\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)は任意のベクトルです。上式に対し\(\vec{X}=\vec{c}\otimes\vec{d}\)とすれば、

\[(\vec{c}\otimes\vec{d})^T = \vec{d}\otimes\vec{c}\]

となることもわかりますね。このため、次のようにテンソルの転置はディアディック表示できます。

\[\vec{X}^T = (X_{ij}\vec{e_i}\otimes\vec{e_j})^T = X_{ij} \vec{e_j}\otimes\vec{e_i}\]

このページの一番上で定義した演算ルールを利用すると

\[\vec{X}^T\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{X}\]

となります。

対称テンソル

また、

\[\vec{X}^T = \vec{X}\]

が成立するテンソルを対称テンソルと呼びます。

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