ベクトル三重積とスカラー三重積

あまり使うことがなくて忘れがちですが、この記事ではベクトル三重積とスカラー三重積について説明します。

外積の総和規約表現
ベクトル三重積
スカラー三重積

外積の総和規約表現

ベクトル $a$ とベクトル $b$ の外積は上のリンクにも書いたように、

$a \times b = e_{i j k} a_{j} b_{k} e_{i}$

と書けました。この関係をたくさんこの記事では使います。

ベクトル三重積

ベクトル三重積とは

$(a \times b) \times c$

で表現されます。ベクトルの外積の総和規約表現を利用すれば

$(a \times b) \times c = e_{i j k} a_{j} b_{k} e_{i} \times c_{l} e_{l}$

となる。さらに式展開を続けよう。

$e_{i} \times e_{l} = e_{m i l} e_{m} = e_{i l m} e_{m}$

となりますね。(真ん中の式から右側の式への変換は偶置換に注意しましょう）

これを利用すると

$(a \times b) \times c = e_{i j k} e_{i l m} a_{j} b_{k} c_{l} e_{m} = e_{j k i} e_{l m i} a_{j} b_{k} c_{l} e_{m}$

ここで、

で示した関係を利用すると

$e_{j k i} e_{l m i} = δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}$

より左辺は

$\begin{aligned} (a \times b) \times c & = (δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}) a_{j} b_{k} c_{l} e_{m} \\ = δ_{j l} δ_{k m} a_{j} b_{k} c_{l} e_{m} - δ_{j m} δ_{k l} a_{j} b_{k} c_{l} e_{m} \\ = a_{j} b_{k} c_{j} e_{k} - a_{j} b_{k} c_{k} e_{j} \\ = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a \end{aligned}$

と式変形できますね。このため、ベクトルの三重積は $a$ と $b$ が定める平面上にあるベクトルとなっていることが分かります。

$(a \times b) \times c = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a$

スカラー三重積

スカラー三重積 $[a b c]$ は次のように定義される。

$[a b c] \equiv (a \times b) \cdot c$

$\begin{aligned} [a b c] & = e_{i j k} a_{j} b_{k} e_{i} \cdot c_{l} e_{l} \\ = e_{i j k} a_{j} b_{k} c_{i} \\ = e_{j k i} a_{j} b_{k} c_{i} \end{aligned}$