テンソル\(\vec{X}\)のトレースを\(\mathrm{tr}\vec{X}\)と書きます。このトレースという概念は、テンソルの固有値、応力でいえば、主応力や不変量といった概念を勉強するときに利用されます。
２階のテンソルの場合、\(\mathrm{tr}\vec{X}\)は
\[\mathrm{tr}\vec{X} = X_{11}+X_{22}+X_{33} = X_{ii}\]
となります。ちなみに、
\[\mathrm{tr}\vec{X}^T = \mathrm{tr}\vec{X}\]
となります。
トレースの導出
テンソルのトレースは次のような式で定義されます。
\[\mathrm{tr}\vec{X} \equiv [\vec{X}\cdot \vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{X}\cdot\vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{b} \vec{X}\cdot\vec{c}]/[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]\]
\[\mathrm{tr}\vec{X} \equiv [\vec{X}\cdot \vec{e_1} \vec{e_2} \vec{e_3}] + [\vec{e_1} \vec{X}\cdot\vec{e_2} \vec{e_3}] + [\vec{e_1} \vec{e_2} \vec{X}\cdot\vec{e_3}]\]
上側の式と下側の式は、スカラー三重積がベクトル\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)からなる平行六面体の体積を後で割るかどうかの違いですね。
ここで\(\vec{X} = X_{ij} \vec{e_i}\otimes\vec{e_j}\)を下側の式に代入すると
\[\mathrm{tr}\vec{X} = [X_{i1}{e_i} \vec{e_2} \vec{e_3}] + [\vec{e_1} X_{i2}{e_i} \vec{e_3}] + [\vec{e_1} \vec{e_2} X_{i3}{e_i}]\]
となる。ここでスカラー三重積の性質上、[] は平行六面体の体積となるので、\([X_{i1}{e_i} \vec{e_2} \vec{e_3}]\)の場合は、\(\vec{e_1}\)成分のみ残ることを考慮すると
\[\mathrm{tr}\vec{X} = X_{11}+X_{22}+X_{33} = X_{ii}\]
となります。
テンソルの積のトレース
次のような関係もあります。
\[\mathrm{tr}(\vec{X}\cdot\vec{Y}) = \mathrm{tr}(\vec{Y}\cdot\vec{X})\]
これは、
\[\begin{align}\mathrm{tr}(\vec{X}\cdot\vec{Y})&=\mathrm{tr}(X_{ik}Y_{kj}\vec{e_i}\otimes\vec{e_j})\\ &=X_{ik}Y_{ki} \\ &= \mathrm{tr}(\vec{Y}\cdot\vec{X})\end{align}\]
からわかります。同様に、ベクトル\(\vec{a},\vec{b}\)のテンソル積のトレースは
\[\begin{align}\mathrm{tr}(\vec{a}\otimes\vec{b})&=\mathrm{tr}(a_ib_j\vec{e_i}\otimes\vec{e_j})\\ &=a_ib_i \\ &= \vec{a}\cdot\vec{b} \end{align}\]
となります。
