テンソルの積
これまで（２階の）テンソルとベクトルの積について考えましたが、ここではテンソルとテンソルの積を考えます。テンソル\(\vec{Y},\vec{X}\)の積を考える。任意のベクトル\(\vec{a}\)を使って
\[\vec{Y}\cdot(\vec{X}\cdot\vec{a})\]
を考えると\(\vec{X}\cdot\vec{a}\)はテンソル\(\vec{X}\)によって線形変換されたベクトルを表すことに注目すると、上式は結局ベクトルを返す式だということが分かります。この式を次のように書くようにします。
\[\begin{align}\vec{b} &= \vec{Y}\cdot(\vec{X}\cdot\vec{a})\\ &\equiv (\vec{Y}\cdot\vec{X})\cdot\vec{a}\end{align}\]
と書くと\(\vec{Y}\cdot\vec{X}\)は一つのテンソルとみなすことができますね。
つまり、テンソルとテンソルの積もテンソルです。
ここで
\[\vec{Y} = \vec{c}\otimes\vec{d}\]
\[\vec{X} = \vec{e}\otimes\vec{f}\]
とおくと、
\[\begin{align} (\vec{Y}\cdot\vec{X})\cdot \vec{a} &= (\vec{c}\otimes\vec{d})\cdot (\vec{e}\otimes\vec{f})\cdot\vec{a} \\ &=(\vec{c}\otimes\vec{d}) \cdot (\vec{f}\cdot\vec{a})\vec{e} \\ &= (\vec{d}\cdot\vec{e})(\vec{f}\cdot\vec{a})\vec{c} \\ &= (\vec{d}\cdot\vec{e})(\vec{c} \otimes\vec{f})\cdot \vec{a} \end{align}\]
となります。以上をまとめると次のような関係が得られます。
\[(\vec{a}\otimes\vec{b})\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d}) = (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}\otimes\vec{d}\]
これをディアディック表示すると
\[\begin{align}\vec{Y}\cdot\vec{X} &= (Y_{ij}\vec{e_i}\otimes\vec{e_j})\cdot(X_{kl}\vec{e_k}\otimes\vec{e_l}) \\&=Y_{ij}X_{kl}(\vec{e_j}\cdot\vec{e_k})(\vec{e_i}\otimes\vec{e_l})\end{align}\]
となる。ここで、\(\vec{e_j}\cdot\vec{e_k}\)は\(j=k\)の時1,それ以外の時0なので，この関係をクロネッカーのデルタで表現すると
\[\begin{align}\vec{Y}\cdot\vec{X} &= Y_{ij}X_{kl}(\vec{e_j}\cdot\vec{e_k})(\vec{e_i}\otimes\vec{e_l}) \\ &=Y_{ij} X_{kl} \delta_{jk}(\vec{e_i}\otimes\vec{e_l}) \\ &= Y_{ij}X_{jl}\vec{e_i}\otimes\vec{e_l}\end{align}\]
となります。
この関係を用いれば、３個のテンソルの積も次のように書けます。
\[\vec{Z}\cdot\vec{Y}\cdot\vec{X} = Z_{ij}Y_{jk}Z_{kl}\vec{e_i}\otimes\vec{e_l}\]
テンソル積の転置
テンソルの積の転置は、次のように書けます。
\[(\vec{Y}\cdot\vec{X})^T = \vec{X}^T \cdot \vec{Y}^T\]
\[\begin{align}(\vec{Y}\cdot\vec{X})^T &= (Y_{ij}X_{jl}\vec{e_i}\otimes \vec{e_l})^T \\ &=Y_{ij}X_{jl}\vec{e_l}\otimes \vec{e_i} \\ &= (X_{jl} \vec{e_l} \otimes \vec{e_j}) \cdot(Y_{ik}\vec{e_k}\otimes\vec{e_i}) \\ &= \vec{X}^T\cdot\vec{Y}^T \end{align}\]
同様に、三つのテンソルの積の転置は
\[(\vec{Z}\cdot\vec{Y}\cdot\vec{X})^T = \vec{X}^T \cdot \vec{Y}^T\cdot\vec{Z}^T\]
